Разреженные множества

Собственно, идея о независимости двух вероятностей: принадлежности элемента множеству и его не принадлежности этому же множеству — появилась у меня в результате попыток объяснения смысла сновидений. Действительно, во сне если идти по дороге вперед — то это одни события и окружение, а если пойти обратную сторону, то уже вряд ли увидишь привычный пейзаж, все меняется коренным образом. Дорога вперед радикально отличается от дороги обратно — некий ассиметричный наш мир, представленным нам в динамическом, увеличенном виде.
 
С другой стороны, если мы анализируем вероятность принадлежности элемента некоторому множеству, то мы используем одни понятия. Если мы будем анализировать не принадлежность элемента тому же множеству, то, скорее всего, использовать мы уже будем другие показатели.
 
Конечно, все анализируемые факторы связаны между собой. Но эта связь сложна и не очевидна. (Представьте себе, что это мультифракталы (multifractal), и нам надо установить связь между их затравками, которые мы не знаем.) Фокус заключается в том, что на подсознательном уровне мы умеем связывать, казалось бы, несвязанные факторы, а вот на сознательном уровне, мы это делать, пока не научились.
 
На этот случай нам предоставлен инструмент сновидений. Вот я и иду по пути формирования сновидений — разорвав связь того, что может быть с тем, чего быть не может. Пример со сном. Представьте себе, что днем вы видели красивое здание, которое овладело вашим вниманием, следовательно, с высокой вероятностью вы увидите во сне некоторые строения. Вечером, просматривая новости по телевизору, Вы увидели неприятные кадры международного конфликта. Вопрос о вероятности увидеть во сне строения вряд ли изменится, а вот вероятность не увидеть во сне строения тоже возрастет, его затмят неприятные кадры, связанные с насилием. И как результат, во сне, если идти прямо, Вам будут встречаться некие постройки, а если пойти назад, Вас встретит война. Чем не компромисс нашего мироощущения с нашим представлением мира.
 
Далее, пытаясь объяснить смысл сновидений, я столкнулся с фактом того, что во сне идет некая интерпретация моих проблем, только часто в аспектах, которые, будучи бодрствующим, я упустил из виду. А днем я не анализировал именно факторы, которые влияют на непринятие некоторых решений по конкретной проблеме. Стоил ли ехать вперед, если не суждено вернуться назад. Тогда я попытался как-то связать свои мироощущения во сне с математикой, соответственно попытался связать понятие проблемы с каким-либо математическим инструментом.
 
Тот факт, что я являюсь поклонником математического аппарата нечетких множеств (fuzzy logic), не является секретом. Естественно, что этот инструмент я пытаюсь использовать почти во всех своих проектах (либо планирую к использованию). Однако часто я наталкиваюсь на проблему не только присутствия элементов множества, но и их отсутствия во множестве (сущность дороги назад). Конечно, скажите Вы, если у меня есть вероятность принадлежности элемента множеству, то очень просто можно рассчитать вероятность его отсутствия во множестве. Вот тут то и родилась крамольная мысль, а что если вероятность присутствия элемента во множестве никак не связана с вероятностью его отсутствия во множестве. Две совершенно разные вероятности. Более того, принадлежность элемента и его непринадлежность множеству являются связанными, если при анализе используется один и тот же набор факторов. А зачастую в жизни все совсем не так. Одни факторы влияют на принадлежность элемента множеству, и совершенно другие на его непринадлежность множеству.
 
Таким образом, разреженное множество можно описать следующим образом: {e1(p1,z1),e2(p2,z2),e3(p3,z3)...en(pn,zn)} (разреженное множество), где: «p» — вероятность принадлежности элемента «e» множеству, а вот «z» — вероятность непринадлежности элемента множеству. Я предполагаю, что такое понятие как «проблема» будет хорошо описываться с помощью такого математического аппарата. Связь с понятием проблемыДля этого можно проанализировать следующую диаграмму.
 
На диаграмме видно как меняется степень неопределенности анализируемых множеств в зависимости от перехода по понятиям «проблема — цель — задача». С каждым понятием, начиная с проблемы, исчезает по одной степени вероятности! При анализе проблем мы должны анализировать вероятность исполнения и неисполнения, целей — вероятность достижения, а задач — просто множество мероприятий.
 
Понятие риска — это моя очередная идея, требующая некоторого осмысления. Пока я не готов что-либо утверждать по этому вопросу. Есть только предположение, что риск каким-то образом связан с вероятностями присутствия и отсутствия элемента во множестве.
 
Следующим шагом в развитии идеи должно стать создание некоторого инструмента, позволяющего практически использовать идею (что-то типа диаграмм Ганта). На диаграмме введены следующие обозначения: «M» — множество, описывающее то или иное понятие, «e» — элемент множества (анализируемый фактор), «p» — вероятность принадлежности элемента множеству, «z» — вероятность не вхождения элемента во множество (в нашем случае – «p» и «z» являются независимыми величинами). В случае понятия «ПРОБЛЕМА» мы имеем дело с разреженным множеством, в котором вероятности принадлежности элемента множеству и его непринадлежности не зависят друг от друга. Очень может быть, в этом случае пригодится математический аппарат комплексных чисел. Но это тоже пока предположение.
 
Еще один пример из военной области. Различные факторы влияют на вероятность присутствия и не присутствия противника в определенном месте. Скажем, на фактор присутствия влияет тактическая целесообразность. А вот на отсутствие, скажем какие-то климатические факторы (например, в России при сильно дождливой погоде, на болотистой местности танки почти бесполезны, так показал опыт 2-й мировой войны). То есть природные явления слабо связаны с театром военных действий.
 
Конечно, идея о разреженных множествах еще пока нуждается  в глубоком осмыслении и анализе, как самого инструмента, так и его применения. Тем не менее, его развитие и применение, мне кажется весьма целесообразным в различных областях знания. Достаточно взглянуть на приведенную диаграмму и увидеть, как меняется степень неопределенности при переходе от понятия «проблема» к понятию «задача».